$ \renewcommand{\v}{\mathbf} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} $
设平面内一曲线$C:y=f(x)$，其中$a \le x \le b$. 在其上定义一力场
$$\v{F}(x,y)$$设有一质点$(x,y)$在该力作用下，沿曲线连续移动，起点为$(a,f(a))$，终点为$(b,f(b))$. 现欲求$\v{F}$所做的功，如何求得？
记所求为$W$，显然
$$W=\int_C \v{F} \cdot \d \v{R} \tag{1}$$其中，$\v{R}$为质点的位置向量，即
$$\v{R}=x\v{i}+y\v{j} \tag{2}$$那么$\d \v{R}=\d x\v{i}+\d y\v{j}$. 接着，由于$\v{F}$可写成
$$\v{F}=M(x,y)\v{i}+N(x,y)\v{j} \tag{3}$$综合$(2)$、$(3)$，得
$$\v{F} \cdot \d \v{R}=M(x,y) \d x + N(x,y) \d y \tag{4}$$所以$(1)$变为
$$W=\int_C M(x,y) \d x + N(x,y) \d y \tag{5}$$此即常见的第二类曲线积分式. 现对其作一个直观解释.
从$(3)$入手，注意到根据向量代数，$\v{F}$可看作两个向量之和. 记$\v{F}_x=M(x,y)\v{i}$，再记$\v{F}_y=N(x,y)\v{j}$，则有$\v{F}=\v{F}_x+\v{F}_y$. 又因为$\v{F}$为力，此种向量分解实则为力的分解，显然$\v{F}_x$和$\v{F}_y$分别为$\v{F}$在$x$轴和$y$轴方向上的分力，而$M(x,y)$和$N(x,y)$即为分力的大小（注意是带符号的）. 于是，$\d x$和$\d y$看作质点移动的小元素，
$$\v{F}_x \cdot \d \v{R}=M(x,y)\d x$$就是$x$轴方向分力做的功，
$$\v{F}_y \cdot \d \v{R}=N(x,y)\d y$$就是$y$轴方向分力做的功. 将每个小元素中$x$轴方向和$y$轴方向的功加起来，就是该元素处的总功
$$ \begin{align*} \v{F}_x \cdot \d \v{R} + \v{F}_y \cdot \d \v{R} &= M(x,y)\d x+N(x,y)\d y \\ (\v{F}_x + \v{F}_y) \cdot \d \v{R} &= \v{F} \cdot \d \v{R} \\ &= \d W \end{align*} $$最后积分得
$$W = \int_C \d W = \int_C M(x,y)\d x+N(x,y)\d y$$即$(5)$式.